Формулы сокращенного умножения: шпаргалка по алгебре
Формулы сокращенного умножения начинают проходить в седьмом классе. С их помощью проще вести подсчеты, сокращать буквенные выражения. Добавляйте нашу шпаргалку в закладки, чтобы материал всегда был под рукой.
Помните, что квадрат суммы (a + b)² и сумма квадратов a² + b² — разные выражения. Для суммы квадратов отдельной формулы нет, такие выражения просто решают по действиям.
Для доказательства формул понадобится вспомнить два свойства умножения:
- Распределительное. Чтобы умножить сумму на какое-то число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и потом сложить результат: a × (b + c) = ab + ac.
- Коммутативное. От перестановки множителей произведение не меняется: ba = ab.
Доказательство формулы квадрата суммы. Разберемся, почему (a + b)² = a² + 2ab + b².
По определению квадрата числа получаем, что (a + b)² = (a + b)(a + b).
Раскрыть скобки поможет распределительное свойство. Умножим каждое слагаемое из первых скобок на каждое слагаемое вторых скобок и сложим полученные результаты: (a + b)(a + b) = (a × a) + (a × b) + (b × a) + (b × b) = a² + ab + ba + b².
Умножение коммутативно, поэтому ab = ba. Значит, a² + ab + ba + b² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Итак, (a + b)² = a² + 2ab + b².
Проверим на числах: (3 + 2)² = 3² + 2 × 3 × 2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25. И действительно: (3 + 2)² = 5² = 25.
Доказательство формулы разности квадратов. Разберем, почему (a − b)(a + b) = a² − b².
Выполним умножение скобок. По распределительному свойству и с учетом знаков получим, что (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b².
ab и −ab — противоположные выражения, в сумме они дают 0. Получится a² − b².
Проверим на числах: (5 − 3)(5 + 3) = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
Аналогично доказывают и другие формулы из списка.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения
Пример: (4х + 5)² = 16х² + 2 × 4x × 5 + 5² = 16x² + 40х + 25
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения
Пример: (2y − 3)² = 4y² − 2 × 2y × 3 + 3² = 4y² − 12y + 9
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения
Пример: (4b + 2a)³ = 64b³ + 3 × 16b² × 2a + 3 × 4b × 4a² + 8a³ = 64b³ + 96b²a + 48ba² + 8a³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения
Пример: (3b − 2)³ = 27b³ − 3 × 9b² × 2 + 3 × 3b × 2² − 2³ = 27b³ − 54b² + 36b − 8
(a − b)(a + b) = a² − b²
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы этих выражений
Пример: (6 − b)(6 + b) = 6² − b² = 36 − b²
(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³
Сумма кубов двух выражений равна произведению их суммы и неполного квадрата их разности. В неполном квадрате не удваивают произведение посередине
Пример: (2a + 4y)(4a² − 8ay + 16y²) = (2a)³ + (4y)³
(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³
Разность кубов двух выражений равна произведению их разности и неполного квадрата их суммы. В неполном квадрате не удваивают произведение посередине
Пример: (4x − 2)(16x² + 8x + 4) = (4x)³ − 2³
🤓 Как запомнить эти формулы
А еще правила, стихи и почти любую информацию, которая поможет в учебе, — рассказываем в нашем материале о мнемотехниках. Пригодится и на уроках русского, и на лабораторной по физике
Что еще почитать о предмете:
